flatness와 chord error

곡선 중점 B(½)가 끝점 현(chord) P0–P3에서 얼마나 떨어져 있는지가 flatness error입니다. 이 값이 tolerance 이하면 “이 구간은 직선으로 봐도 된다”고 말할 수 있습니다.

데모에서 볼 것

• 회색 cubic + 점선 chord (P0–P3)
• toolbar tolerance 0–20 px
• readout: cubicFlatnessError = … px — chord에 대한 수직 거리(cross/chordLen)

tolerance를 낮추면 adaptive flatten(052)이 더 많이 subdivide(068)합니다.

측정 — cubicFlatnessError

import { cubicFlatnessError } from "svg-matrix-core";

const err = cubicFlatnessError(p0, p1, p2, p3);
// B(½)에서 chord P0→P3까지의 수직 거리 (px)

err = |(mid − P0) × chord| / |chord|

chordLen ≈ 0이면 끝점 거리로 fallback — degenerate segment.

quadratic:

import { quadraticFlatnessError } from "svg-matrix-core";

adaptive flatten과의 관계

engine.js의 flattenCubicAdaptive는 동일한 기하를 distancePointToSegment(B(½), P0, P3)로 검사합니다.

import { flattenCubicAdaptive, flattenPathSegmentsAdaptive } from "svg-matrix-core";

flattenCubicAdaptive(p0, p1, p2, p3, tolerance, points);
flattenPathSegmentsAdaptive(segments, { tolerance: 0.5 });

flatness vs 다른 “곡률” 지표

급격한 코너는 flatness가 크게 나와 subdivide가 깊어집니다 — 078 offset cusp와는 다른 현상.

교차 알고리즘

075 cubicCubicIntersections — 두 cubic이 각각 flat하면 control hull chord로 교차 검사, 아니면 068 subdivide. flatness가 broad-phase 역할.

함정

• 픽셀 tolerance — zoom·viewBox에 맞게 ε 스케일 (world units vs screen px)
• flatness는 전역 최대 오차 보장이 아님 — 구간 중점만 검사; 극히 pathological handle에서는 subdivide depth로 수렴
• arc A — arcSegmentToCubics 후 cubic에 동일 adaptive (053)

Core API

• cubicFlatnessError, quadraticFlatnessError — geometry.js
• flattenCubicAdaptive, flattenPathSegmentsAdaptive — engine.js

관련

• 068 subdivide · 052 · 017 length sampling 품질

오늘의 핵심

flatness는 “곡률이 큰가?”의 저렴한 근사입니다. flatten·intersection·boolean에서 ε 하나로 품질–성능을 맞추고, 정밀 법선·κ는 070으로 넘기세요.